Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，过 A、B、D三点的圆交CB的延长线于点E．
（1）求证：AE=CE．
（2）若EF与过A、B、D三点的圆相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求过 A、B、D三点的圆的直径．

Answer 1

分析：（1）连接DE，求出AE是直径，求出∠ADE=90°，根据线段垂直平分线性质求出即可．
（2）证△ADE∽△AEF，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：连接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是过 A、B、D三点的圆的直径，
∴∠ADE=90°，
∴DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE． 
                                  
（2）解：∵CD=CF=2cm，
∴AF=AC+CF=6cm，
∵EF与过 A、B、D三点的圆相切于点E，
∴∠AEF=90°=∠ADE，
又∵∠DAE=∠FAE，
∴△ADE∽△AEF，
∴

AE

AF

=

AD

AE

，
即

AE

6

=

2

AE

，
∴AE=2

3

cm．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．