Question

如图，点P、Q在⊙0上，直线PM为⊙0的切线，P为切点，OM⊥OQ．连接PQ交OM于A点，连接OP．
（1）求证：MP=MA；
（2）若OP=2，PM=，求OA的长．

Answer 1

（1）证明：∵PM为⊙0的切线，P为切点，OM⊥OQ，
∴∠OPM=∠QOA=90°．
又∵OP=OQ，
∴∠OPQ=∠OQP，
∴∠APM=∠OAQ（等角的余角相等）．
又∵∠OAQ=∠PAM（对顶角相等），
∴∠APM=∠PAM（等量代换），
∴MP=MA（等角对等边）；

（2）解：∵在直角△OPM中，OP=2，PM=，
∴由勾股定理知，OM==3．
又∵由（1）知MP=MA，
∴OA=OM-AM=OM-MP=3-，即OA的长为（3-）．
分析：（1）通过三角形内角和定理、切线与垂直的性质求得∠APM=∠PAM；
（2）在直角△OPM中利用勾股定理求得OM的长度，结合（1）中的结论即可求得OA=OM-PM．
点评：本题考查了切线的判定与性质，勾股定理．注意，此题中的“等量代换”的灵活运用的方法．