Question

如图，AC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，AB交⊙O于点E．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AB=10，求线段BE的长．

Answer 1

解：（1）直线BC与⊙O相切．
理由是：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC，
∵AD与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，
∴∠BCA=∠DAC=90°，
又∵AC是⊙O的直径，∴BC与⊙O相切．

（2）方法①：连接CE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵⊙O 的半径为4，
∴AC=8，
又∵∠BCA=∠CEA=90°，∠BAC=∠CAE，
∴△BAC∽△CAE，
∴=，
即 =，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=．
方法②：由勾股定理得：BC=6，
∵BC是圆的切线，BEA是圆的割线，
由切割线定理得：BC²=BE•BA，
代入求出BE=．
答：BE的长是．
分析：（1）根据平行四边形性质求出∠BCA=∠DAC=90°，根据圆的切线的判定定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据切割线定理求出即可．
点评：本题主要考查对切割线定理，勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．