Question

有一列式子，按一定规律排列成-3a²，9a⁵，-27a¹⁰，81a¹⁷，-243a²⁶，…．
（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是

-27

；
（2）上列式子中第n个式子为

(-3)nan2+1

（n为正整数）．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入已知数列，可以发现该数列的通式为：（-3）ⁿ．然后根据限制性条件“三个相邻数的和是63”列出方程（-3）^n-1+（-3）ⁿ+（-3）ⁿ⁺¹=63．通过解方程即可求得（-3）ⁿ的值；
（2）利用归纳法来求已知数列的通式．

解答：解：（1）当a=1时，则
-3=（-3）¹，
9=（-3）²，
-27=（-3）³，
81=（-3）⁴，
-243=（-3）⁵，
…．
则（-3）^n-1+（-3）ⁿ+（-3）ⁿ⁺¹=63，即-

1

3

（-3）ⁿ+（-3）ⁿ-3（-3）ⁿ=63，
所以-

7

3

（-3）ⁿ=63，
解得，（-3）ⁿ=-27，
故答案是：-27；

（2）∵第一个式子：-3a²=(-3)1a12+1，
第二个式子：9a⁵=(-3)2a22+1，
第三个式子：-27a¹⁰=(-3)3a32+1，
第四个式子：81a¹⁷=(-3)4a42+1，
…．
则第n个式子为：(-3)nan2+1（n为正整数）．
故答案是：(-3)nan2+1．

点评：本题考查了单项式．此题的解题关键是找出该数列的通式．