Question

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△APQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系．
（3）是否存在某一时刻t，△APQ的面积与△ABC的面积比为7：15？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据PQ∥BC得出△AQP∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出t的值；
（2）过点Q作QH⊥AC于点H，根据相似三角形的性质用t表示出QH的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）根据（2）中△APQ的面积的表达式即可得出结论．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

62+82

=10cm．
∵点P由点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，
∴AQ=5+t，AP=2t，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，即

5+t

10

=

2t

6

，解得t=

15

7

．
答：当t=

15

7

秒时，PQ∥BC；

（2）过点Q作QH⊥AC于点H，
∵BC⊥AC，
∴QH∥BC，
∴△AQH∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QH

BC

，即

5+t

10

=

QH

8

，解得QH=4+

4

5

t，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

×2t×（4+

4

5

t）=

4

5

t²+4t（0＜t≤3）；

（3）存在．
理由：∵S_△ABC=

1

2

×6×8=24，由（2）知S_△APQ=

4

5

t²+4t，
∴

4 5 t2+4t

24

=

7

15

，
解得t₁=2，t₂=-7（舍去）
∴t=2（秒）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题以及勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得出PH的长是解题关键．