Question

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC与⊙O相交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
（1）试探求A，P，O，M四点是否在一个圆上？证明你的结论；
（2）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

解：（1）连接OP，OM；
∵AP与⊙O相切于点P，
∴OP⊥AP．
∵M是⊙O的弦BC的中点，
∴OM⊥BC．
设OA的中点为N，
由OP⊥AP，OM⊥BC知，
Rt△OAP与Rt△OAM斜边OA上的中线满足PN=MN=OA，
∴ON=AN=PN=MN．
∴A，P，O，M四点到点N的距离相等，
∴A，P，O，M四点共圆．

（2）由A，P，O，M四点共圆，得∠OAM=∠OPM，
而OP⊥AP，且圆心O在∠PAC的内部，
∴∠OPM+∠APM=90°．
∴∠OAM+∠APM=90°．
分析：（1）连接OP，OM．由切线的性质知，M是⊙O的弦BC的中点，由垂径定理知，OM⊥BC．由于OP⊥AP，OM⊥BC；根据直角对的弦是直径知，A，P，O，M四点是以OA为直径的圆上的点，所以A，P，O，M四点共圆；
（2）由于A，P，O，M四点共圆，根据圆周角定理得∠OAM=∠OPM，而OP⊥AP，且圆心O在∠PAC的内部，所以∠OPM+∠APM=90°，则∠OAM+∠APM=90°．
点评：本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角，直角对的弦是直径，直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，求解．