Question

如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB

的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿

BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t

＜4)s．解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ⊥AB？

(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为

＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）y（3）当时，h

【解析】解：（1）如图，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

 ∴。

                ∵点D、E分别是AC、AB的中点，

∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。

                ∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90⁰。

 又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。

∴△PQE∽△ABC。∴。

由题意，得PE=4－t，QE=2t－5，

∴，解得。

∴当时，PQ⊥AB。

（2）过点P作PM⊥AB于点M。

     由△PME∽△ABC，得，

     ∴，即。

     ∴，

        。

     ∴。

（3）假设存在时刻t使＝1∶29，此时，，

     ∴，即。

     解得（舍去）。

     当时，PM=，ME=，EQ=5－2×2=1，

MQ=ME＋EQ=，。

∵，∴。

当时， PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为＝1∶29，此时点E到PQ的距离h。

（1）由△PQE∽△ABC可列式求解。

（2）由△PME∽△ABC可求得，根据可求关系式。

（3）假设存在，由已知＝1∶29可得，即可求出，进一步由求出。