Question

11．如图1，Rt△ABC的两条直角边长分别为6cm和8cm，作Rt△ABC的内切圆，则内切圆的半径为2cm；作Rt△ABC斜边上的高，则Rt△ABC被分成两个小直角三角形，分别作其内切圆，得到图2，这两个内切圆的半径的和为$\frac{14}{5}$cm；在图2中继续作小直角三角形斜边上的高，再分别作被分成的小直角三角形的内切圆，得到图3，…，依此类推，若在Rt△ABC中作出了16个这样的小直角三角形，它们的内切圆面积分别记为S₁、S₂，…，S₁₆，则S₁+S₂+…+S₁₆=4πcm²．

Answer 1

分析 先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=$\frac{a+b+c}{2}$，长特殊到一般，探究规律后，利用规律即可解决问题．

解答 解：图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则r=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
∴S₁=π×2²=4π
图2，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10×CD
∴CD=$\frac{24}{5}$由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，BD=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，
由（1）得：
⊙O的半径=$\frac{\frac{18}{5}+\frac{24}{5}-6}{2}$=$\frac{6}{5}$，⊙E的半径=$\frac{\frac{24}{5}+\frac{32}{5}-8}{2}$=$\frac{8}{5}$，
∴这两个内切圆的半径的和=$\frac{6}{5}$+$\frac{8}{5}$=$\frac{14}{5}$cm，
∴S₁+S₂=π×（ $\frac{6}{5}$）²+π×（ $\frac{8}{5}$）²=4πcm²．
图3，由S_△CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$\frac{32}{5}$=$\frac{1}{2}$×4×MD
∴MD=$\frac{96}{25}$，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}-（\frac{96}{25}）^{2}}$=$\frac{72}{25}$，MB=8-$\frac{72}{25}$=$\frac{128}{25}$，
由（1）得：⊙O的半径=$\frac{6}{5}$，：⊙E的半径=$\frac{\frac{96}{25}+\frac{72}{25}-\frac{24}{5}}{2}$=$\frac{24}{25}$，
∴⊙F的半径=$\frac{\frac{96}{25}+\frac{128}{25}-\frac{32}{5}}{2}$=$\frac{32}{25}$，
∴S₁+S₂+S₃=π×（ $\frac{6}{5}$）²+π×（ $\frac{24}{25}$）²+π×（ $\frac{32}{25}$）²=4πcm²
…
观察规律可知S₁+S₂+S₃+…+S₁₆=4πcm²．
故答案分别为$\frac{14}{5}$，4πcm²．

点评 本题考查了直角三角形的内切圆，这是一个图形变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=$\frac{a+b+c}{2}$（a、b是直角边，c为斜边）；②利用面积相等计算斜边上的高；③运用勾股定理计算直角三角形的边长．