Question

10．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于F，AD交CE于H，连接FH．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：AH=BF；
（3）求证：△CFH为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH，进而得出△BCF≌△ACH，即可得出结论；
（3）由CF=CH和∠ACH=60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形，可得△CFH是等边三角形．

解答 证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC\\;}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAH}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACH}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴AH=BF；

（3）∵△BCF≌△ACH，
∴CF=CH，
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质．结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．