Question

18．如图．已知：OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，连接BC，AD，相交于点E．求证：AE=BE．

Answer 1

分析 先根据SAS定理得出△OAD≌△OBC，故可得出∠A=∠B，再由AAS定理得出△AEC≌△BED即可得出结论．

解答 证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC=AC，OD=BD，
∵OA=OB，
∴OC=OD，
在△OAD与△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}OC=OD\\∠BOC=∠AOD\\ OA=OB\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴∠A=∠B．
在△AEC与△BED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠D\\ AC=BD\\∠AEC=∠BED\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BED（AAS），
∴AE=BE．

点评 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．