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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米．跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上．
    （1）求两铁塔轴线间的距离（即直线AB、CD间的距离）；
    （2）若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴，取单位长度为1米，BA的延长方向为y轴建立坐标系．求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式．
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    分析：（1）根据题意，连接CA并延长到F，连接CP并延长到E，CD的延长线交地平面于点H．于是构造了两对相似三角形：EBP∽△EHC，△FBA∽△FHC，利用相似三角形的性质，建立起AB、CD之间的关系式，解方程组即可；
    （2）因为点A为坐标原点，则可设过原点的二次函数解析式为y=ax2+bx（a＞0），将C（100，20）代入上式可得关于a、b的关系式，再根据二次函数顶点坐标公式和最低点高于地面为30-6=24（米），点A高度为40米，得到关于a、b的关系式，于是可以求出二次函数解析式．
    解答：解：如图，AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200（米）．
    设CD的延长线交地平面于点H．
    （1）设CH=x，
    BH=y（1分）
    由△EBP∽△EHC得
    BP
    CH
    =
    EB
    EH
    ，即
    20
    x
    =
    50
    50+y
    ①（2分）
    由△FBA∽△FHC得
    AB
    CH
    =
    FB
    FH
    ，即
    40
    x
    =
    200
    200+y
    ②（3分）
    由①②解得：x=60，y=100
    答：两铁塔轴线间的距离为100米；（5分）

    （2）依题意建立坐标系如图，由（1）得CH=60米，C点比A点高20米，
    这时A、C两点的坐标为：A（0，0），C（100，20），
    设抛物线顶点为P（x0，y0），
    因为要求最低点高于地面为30-6=24（米），点A高度为40米，所以y0=-16．
    设过点A的抛物线解析式为y=ax2+bx（a＞0），则该抛物线满足：（6分）
    1002a+100b=20
    y0=
    4ac-b2
    4a
    =-
    b2
    4a
    =-16
    （8分）
    化简得：125b2+80b-16=0
    解得：b1=
    4
    25
    ，b2=-
    4
    5
    （9分）
    ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，有-
    b
    2a
    ＞0，而a＞0
    ∴b＜0，故b1=
    4
    25
    舍去（10分）
    把b2=-
    4
    5
    代入前式得：a=
    1
    100
    （11分）
    ∴y=
    1
    100
    x2-
    4
    5
    x
    答：所求抛物线的解析式为y=
    1
    100
    x2-
    4
    5
    x．（12分）
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    点评：此题是一道实际问题，结合了直角三角形的性质、相似三角形的性质、和根据函数图象上点的特征求函数解析式，体现了数学来源于生活，服务于生活的本质．
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    （1）在图中画出圆弧形弯道的示意图；
    （2）求弯道部分的长．（结果保留四个有效数字）．

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