Question

如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，对称轴l与x轴相交于点C，顶点为点D，且∠ADC的正切值为．
（1）求顶点D的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）F点是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接AF，若∠FAC=∠ADC，求F点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线和x轴交于A，B两点，可求出对称轴方程，再由已知条件可求出CD的长，进而求出D的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，由（1）可知h=1，k=-4，再把A或B点的坐标代入求出a的值即可；
（3）过点F作作FH⊥x轴，垂足为点H，设F（x，x²-2x-3），由已知条件求出x的值，即可求出F的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴直线l==1，
∵对称轴l与x轴相交于点C，
∴AC=2，
∵∠ACD=90°，tan∠ADC=，
∴CD=4，
∵a＞0，
∴D（1，-4）；

（2）设y=a（x-h）²+k，有（1）可知h=1，k=-4，
∴y=a（x-1）²-4，
将x=-1，y=0代入上式，
得：a=1，
所以，这条抛物线的表达为y=x²-2x-3；

（3）过点F作作FH⊥x轴，垂足为点H，
设F（x，x²-2x-3），
∵∠FAC=∠ADC，
∴tan∠FAC=tan∠ADC，
∵tan∠ADC=，
∴tan∠FAC==，
∵FH=x²-2x-3，AH=x+1，
∴，
解得x₁=，x₂=-1（舍），
∴F（，）．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．