Question

如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）判断PQ与BP的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAD中，，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），
∴∠ABE=∠DAC，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=180°-90°-60°=30°，
∴BP=2PQ（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半）．
分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠BPQ=60°，再根据BQ⊥AD得到∠BQP=90°，根据三角形的内角和定理求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，（2）中根据角度的关系求出∠PBQ=30°是解题的关键．