Question

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为(5，5

3

)，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．
（3）求题（2）中面积S与时间

1

2

之间的函数关系式，及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；
（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；
（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；
（4）分两种情况进行列方程解决问题．

解答：解：（1）如图，

过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，
∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO=

BE

AE

=

3

，
∴∠BAO=60°；

 （2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，
点P的运动速度为2个单位/秒；

（3）P（10-t，

3

t）（0≤t≤5），
∵S=

1

2

（2t+2）（10-t），
=-（t-

9

2

）²+

121

4

，
∴当t=

9

2

时，S有最大值为

121

4

，
此时P(

11

2

，

9 3

2

)；

（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：

3

t=

2+2t

2

，
解得：t=

3 +1

2

，
当P在BC上时，

2t-10

2

+5

3

=

2+2t

2

，
此方程无解，故t不存在，
综上所知当t=

3 +1

2

时，PO=PQ．

点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，特殊角的三角函数，以及分类讨论思想的渗透．