Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE=2，BD=4，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OD，首先由DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，证明BE是直径，点O是BE的中点，由∠C=90°得到∠DBC+∠BDC=90°，由BD为∠ABC的平分线得到∠ABD=∠DBC，又OB=OD，利用等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB，然后等量代换即可证明题目结论；
（2）首先利用勾股定理求出BE=2

5

，OE=

5

，然后利用已知条件证明△ADB∽△AED，利用等腰三角形的性质得到
AD=2AE，在Rt△AOD中由AO²=OD²+AD²，可以列出关于AE的方程，解方程即可解决问题．

解答：（1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是直径，点O是BE的中点，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
又BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．（方法不唯一，参照给分）

（2）解：∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，
∴BE=2

5

，OE=

5

，
∴∠ABD=∠ADE，又∠A为公共角，
∴△ADB∽△AED，则有

AE

AD

=

ED

DB

=

2

4

，
∴AD=2AE，
在Rt△AOD中，AO²=OD²+AD²，
即（

5

+AE）²=（

5

）²+（2AE）²，
解得AE=

2

3

5

或AE=0（舍去），
所以AE=

2

3

5

．

点评：本题综合考查了切线的性质和判定、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．