Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，直线EF绕对角线AC的中点O旋转，分别交BC、AD于E、F两点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC=2，∠CAF=30°．
①当AF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，四边形AECF是菱形；
②当AF=$\sqrt{3}$时，四边形AECF是矩形．
（直接写出答案，不需要说明理由）

Answer 1

分析 （1）先由平行四边形的性质得到AD∥BC，从而得出∠CAF=∠ACE，再用中点得到OA=OC，得出△AOF≌△COE即可；
（2）①由菱形的性质得出∠AOF=90°，再用三角函数求出AF即可；
②由矩形的性质得出∠AFC=90°，再用三角函数求出AF即可．

解答 解：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAF=∠ACE，
∵点O是平行四边形ABCD对角线的中点，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠ACE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）①∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴∠AOF=90°，
在RT△AOF中，∠CAF=30°．OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴cos∠CAF=$\frac{OA}{AF}$，
∴AF=$\frac{OA}{cos∠CAF}$=$\frac{1}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②∵四边形AECF是矩形，
∴∠AFC=90°，
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，AC=2，
∴cos∠CAF=$\frac{AF}{AC}$，
∴AF=AC×cos∠CAF=2×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题是旋转的性质，主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形、矩形的性质，锐角三角函数，解本题的关键判断出△AOF≌△COE，三角函数的运用是解本题的难点．