Question

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．若△BPQ与△ABC相似，则t的值为1秒或$\frac{32}{41}$秒．

Answer 1

分析 设运动时间为t秒（0＜t＜2），则BP=5t，CQ=4t，BQ=8-4t，先利用勾股定理计算出AB=10，分类讨论：当△BPQ∽△BAC时，根据相似三角形的性质得$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$；当△BPQ∽△BQP，根据相似三角形的性质得$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，然后分别解方程求出t的值即可．

解答 解：设运动时间为t秒（0＜t＜2），则BP=5t，CQ=4t，BQ=8-4t，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
当△BPQ∽△BAC时，$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-4t}{8}$，解得t=1（秒）；
当△BPQ∽△BQP时，$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{5t}{8}$=$\frac{8-4t}{10}$，解得t=$\frac{32}{41}$（秒），
即当t=1秒或$\frac{32}{41}$秒时，△BPQ与△ABC相似．
故答案为1秒或$\frac{32}{41}$秒时

点评 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了分类讨论的思想和利用代数法解决动点问题．