Question

1．已知x为实数，x=$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$，则x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 利用等式的性质，和二次根式的化简方法逐步化简求得方程的解即可．

解答 解：x=$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$，
$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$=x-$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$，
两边平方得x-$\frac{1}{x}$=x²+1-$\frac{1}{x}$-2x$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$，
x²-x-2x$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$+1=0，
x²-x-2$\sqrt{{x}^{2}-x}$+1=0
即x²-x-1=0，
解得x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查二次根式的化简求值，解无理方程，掌握二次根式的性质和等式的性质是解决问题的关键．