Question

（2012•南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）先运用配方法将y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；
（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．

解答：解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．
在△BCD与△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

（-1＜x＜3）；

（2）y有最大值．理由如下：
∵y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

=-

1

4

（x²-2x）+

3

4

=-

1

4

（x-1）²+1，
又∵-1＜x＜3，
∴当x=1时，y有最大值1；

（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=4 -k+b=-1

，
解得

k= 5 3 b= 2 3

．
∴直线A′B′的解析式为y=

5

3

x+

2

3

，
当y=0时，

5

3

x+

2

3

=0，解得x=-

2

5

．
故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-

2

5

，0）．

点评：本题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度．（1）中通过作辅助线证明△BCD∽△CAE是解题的关键，（3）中根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．