Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=4∠B，AB的垂直平分线与BC交于M，
求证：CM=2BM．

Answer 1

证明：
连接AM，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠A=4∠B，
∴在△ABC中，∠B+∠B+4∠B=180°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=120°，∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM，
∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠CAM=120°-30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CM=2AM，
∵BM=AM，
∴CM=2BM．
分析：连接AM，求出∠B=⊕C，根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，求出∠MAC=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出CM=AM，根据线段垂直平分线性质求出BM=AM，即可求出答案．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．