Question

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，分别过A、C两点作⊙O的两条切线AD、CD，它们的交点为D，且AD∥BC，CD∥AB．
（1）试说明四边形ABCD是菱形；
（2）若⊙O的半径是2$\sqrt{3}$，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，CD∥AB，得到四边形ABCD是平行四边形，根据切线长定理得到AD=CD，于是得到结论；
（2）连接AO、CO，由AD、CD是⊙O的切线，得到∠OAD=∠OCD=90°，由四边形ABCD为菱形，得到∠B=∠D，求出∠B=∠D=60°，得到菱形高为3$\sqrt{3}$，底为6，问题即可得解．

解答 解：（1）∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD、CD是⊙O的切线，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD为菱形；

（2）连接AO、CO，
∵AD、CD是⊙O的切线，
∴∠OAD=∠OCD=90°，
∴∠OAD+∠OCD=180°，
∴∠AOC+∠D=180°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B=∠D，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠D=60°，
∴菱形高为3$\sqrt{3}$，底为6，
∴S_{四边形ABCD}=18$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质及菱形的判定和性质，菱形面积的求法，由切线的性质得到∠OAD=∠OCD=90°是解题的关键．