Question

12．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则△DEF的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{28}$
• B． $\frac{1}{56}$
• C． $\frac{3}{28}$
• D． $\frac{3}{56}$

Answer 1

分析 根据勾股定理求出BC的长，根据等腰三角形的性质得到GF=CF，根据三角形中位线定理得到EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$GB，根据角平分线的性质和三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∵AD是∠BAC的平分线，CG⊥AD，
∴AG=AC=3，GF=CF，又BE=EC，
∴EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$GB=$\frac{1}{2}$×（4-3）=$\frac{1}{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=6，
则S_CGB=6×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∵EF∥BG，
∴△CEF∽△CGB，又EF=$\frac{1}{2}$BG，
∴S_△CEF=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{8}$，
设ED=x，则DC=$\frac{5}{2}$-x，BD=$\frac{5}{2}$+x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{\frac{5}{2}+x}{\frac{5}{2}-x}$=$\frac{4}{3}$，
解得，x=$\frac{5}{14}$，
则CD=$\frac{15}{7}$，
∴△DEF的面积=$\frac{3}{8}$×$\frac{1}{7}$=$\frac{3}{56}$，
故选：D．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．