Question

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer 1

（1）见解析 （2）OG=1

【解析】

试题分析：（1）根据△OBC为等边三角形，以及∠AOB=30°和∠OAB=90°，说明OC∥AB，根据∠BCO和∠AEO的度数说明BC∥AE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；（2）根据直角△OAB求出OA的平方，然后根据直角△AOG的勾股定理求出OG的长度.

试题解析：（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点， ∴DO=DA，

∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°， ∴∠AEO=60°，

又∵△OBC为等边三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60°， ∴BC∥AE，

∵∠BAO=∠COA=90°， ∴CO∥AB，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）【解析】
设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，

在Rt△ABO中， ∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，

∴AB=BO=4

∴OA²=BO²-AB²=8²-4²=48

在Rt△OAG中，OG²+OA²=AG²，

x²+48=（8﹣x）²，

解得：x=1，

∴OG=1．

考点：平行四边形的判定、勾股定理的应用