Question

某同学在学习过程中，遇到这样的问题：求A=48×(

1

32-4

+

1

42-4

+…+

1

1002-4

)的整数部分．百思而不得其解，于是向老师求教．数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式中每个分母中减数都是4，且被减数都在递增；
先看一般情形：

1

a2-4

=…=

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)
再看特殊情形：
当a=3时，

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)=

1

a2-4

当a=4时，

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)=

1

a2-4

老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了”
（1）请你通过化简，说明一般情形

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)=

1

a2-4

的正确性；
（2）请你完成该同学的解答．

Answer 1

分析：（1）根据整式的加减法则把分式进行化简即可；
（2）根据题中所给出的式子把原式进行化简，求出A最接近的整数即可．

解答：解：（1）∵左边=

1

4

×（

a+2

(a+2)(a-2)

-

a-2

(a+2)(a-2)

）
=

1

4

×

a+2-a+2

(a+2)(a-2)

=

1

4

×

4

a2-4

=

1

a2-4

，
∴左边=右边，即原式成立；

（2）∵

1

a2-4

=

1

4

（

1

a-2

-

1

a+2

），
∴A=48×

1

4

[（1+

1

2

+…+

1

98

）-（

1

5

+

1

6

+…+

1

102

）]
=12×（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

-

1

99

-

1

100

-

1

101

-

1

102

）
=25-12×（

1

99

+

1

100

+

1

101

+

1

102

）
∵12×（

1

99

+

1

100

+

1

101

+

1

102

）＜14×

4

99

＜

1

2

，
∴A的整数部分是24．

点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意找出规律是解答此题的关键．