Question

10．如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P（如图2），则六边形AEFCHG面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由六边形AEFCHG面积=菱形ABCD的面积-△EBF的面积-△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．

解答 解：六边形AEFCHG面积=菱形ABCD的面积-△EBF的面积-△GDH的面积．
∵菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，
∴AC=2，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}×$2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
设AE=x，
则六边形AEFCHG面积=2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×（2-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）-$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 考查了翻折变换（折叠问题），二次函数最值问题，本题关键是设出未知数表示六边形面积，把图形问题转化为函数问题，有一定的难度．