如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AB=10cm.AC:BC=4:3.点P从点A出发沿AB方向向点B运动.速度为1cm/s.同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动.速度为2cm/s.当一个运动点到达终点时.另一个运动点也随之停止运动.(1)求AC.BC的长,(2)设点P的运动时间为x(秒).△PBQ的面积为y(cm2).当△PBQ存在时.求y与x的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动。
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即：（4x）²+（3x）²=10²，解得：x=2， ∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x， ∴BP=10-x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴， ∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x²+8x（0＜x≤3）， ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10-x，AQ=14-2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=（14-x）， ∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x²-x+42（3＜x＜7）； ∴y与x的函数关系式为：y=；
（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB， ∴△APQ∽△ACB， ∴，即：，解得：x=，PQ=， ∴PB=10-x=， ∴， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）存在，理由： ∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ∥AB， ∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线， ∴PC=AP=5， ∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， ∴△BCM的周长最小值为16。

练习册系列答案

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（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD=6，AC=8，求AE．

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将三角板中一个30°角的顶点D放在AB

边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）画出符合条件的图形．连接EF后，写出与△ABC一定相似的三角形；
（2）设AD=x，CF=y．求y与x之间函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，sinA=

，则cos∠CBD的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在AD上以

cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当

点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为

（t-2）

cm，（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

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同步练习册答案

解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即：（4x）²+（3x）²=10²，解得：x=2， ∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x， ∴BP=10-x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴， ∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x²+8x（0＜x≤3）， ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10-x，AQ=14-2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=（14-x）， ∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x²-x+42（3＜x＜7）； ∴y与x的函数关系式为：y=；
（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB， ∴△APQ∽△ACB， ∴，即：，解得：x=，PQ=， ∴PB=10-x=， ∴， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）存在，理由： ∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ∥AB， ∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线， ∴PC=AP=5， ∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， ∴△BCM的周长最小值为16。

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