Question

探究题：
数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同取法？
为找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3，而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

1+2+2+3

2

=4=

42

4

种不同的取法．
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

1+2+2+3+4

2

=6=

52-1

4

种不同的取法．
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5，而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

1+2+3+3+4+5

2

=9=

62

4

种不同的取法．
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6，而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

1+2+3+3+4+5+6

2

=12=

72-1

4

种不同的取法…
问题解决
仿照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，共有

 

种不同取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数字之和大于n，共有

 

种不同取法；（只填最简算式）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数之和大于n，共有

 

种不同取法；（只填最简算式）
（4）各边长都是整数且不相等，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）

Answer 1

分析：（1）-（3）根据上述规律，发现：在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数字之和大于n，共有

1+2+…+ n 2 + n 2 +…+n-1

2

=

n2

4

种不同取法；在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数之和大于n，共有

1+2+…+ n-1 2 + n-1 2 +…+n-1

2

=

n2-1

4

种不同取法；
（4）根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则各边长都是整数，最大边长为21的三角形的个数和（1）相同．

解答：解：根据题意，得
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，共有

212-1

4

=110种不同取法；
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数字之和大于n，共有

1+2+…+ n 2 + n 2 +…+n-1

2

=

n2

4

种不同取法；
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数之和大于n，共有

1+2+…+ n-1 2 + n-1 2 +…+n-1

2

=

n2-1

4

种不同取法；
（4）根据三角形三边关系，即相当于在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，和（1）的解答方法相同．
故答案为110；

n2

4

；

n2-1

4

．

点评：此题考查了一道数字规律的问题和三角形的三边关系，能够从特殊推广到一般．