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探究题:
数学问题:各边长都是整数,最大边长为21的三角形有多少个?
为解决上面的数学问题,我们先研究下面的数学模型:
数学模型:在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,有多少种不同取法?
为找到解决问题的方法,我们把上面数学模型简单化.
(1)在1~4这4个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于4,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+4,2+3,2+4,3+2,3+4,4+1,4+2,4+3,而1+4与4+1,2+3与3+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有数学公式种不同的取法.
(2)在1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于5,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+5,2+4,2+5,3+4,3+5,4+2,4+3,4+5,5+1,5+2,5+3,5+4,而1+5与5+1,2+4与4+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有数学公式种不同的取法.
(3)在1~6这6个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于6,有多少种不同的取法?
根据题意,有下列取法:1+6,2+5,2+6,3+4,3+5,3+6,4+3,4+5,4+6,5+2,5+3,5+4,5+6,6+1,6+2,6+3,6+4,6+5,而1+6与6+1,2+5与5+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有数学公式种不同的取法.
(4)在1~7这7个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于7,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+7,2+6,2+7,3+5,3+6,3+7,4+5,4+6,4+7,5+3,5+4,5+6,5+7,6+2,6+3,6+4,6+5,6+7,7+1,7+2,7+3,7+4,7+5,7+6,而1+7与7+1,2+6与6+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有数学公式种不同的取法…
问题解决
仿照上述研究问题的方法,解决上述数学模型和提出的问题
(1)在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,共有______种不同取法;(只填结果)
(2)在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数字之和大于n,共有______种不同取法;(只填最简算式)
(3)在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数之和大于n,共有______种不同取法;(只填最简算式)
(4)各边长都是整数且不相等,最大边长为21的三角形有多少个?(写出最简算式和结果,不写分析过程)

解:根据题意,得
(1)在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,共有=110种不同取法;
(2)在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数字之和大于n,共有=种不同取法;
(3)在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数之和大于n,共有=种不同取法;
(4)根据三角形三边关系,即相当于在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,和(1)的解答方法相同.
故答案为110;
分析:(1)-(3)根据上述规律,发现:在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数字之和大于n,共有=种不同取法;在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数之和大于n,共有=种不同取法;
(4)根据三角形三边关系,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,则各边长都是整数,最大边长为21的三角形的个数和(1)相同.
点评:此题考查了一道数字规律的问题和三角形的三边关系,能够从特殊推广到一般.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

探究题:
数学问题:各边长都是整数,最大边长为21的三角形有多少个?
为解决上面的数学问题,我们先研究下面的数学模型:
数学模型:在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,有多少种不同取法?
为找到解决问题的方法,我们把上面数学模型简单化.
(1)在1~4这4个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于4,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+4,2+3,2+4,3+2,3+4,4+1,4+2,4+3,而1+4与4+1,2+3与3+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有
1+2+2+3
2
=4=
42
4
种不同的取法.
(2)在1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于5,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+5,2+4,2+5,3+4,3+5,4+2,4+3,4+5,5+1,5+2,5+3,5+4,而1+5与5+1,2+4与4+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有
1+2+2+3+4
2
=6=
52-1
4
种不同的取法.
(3)在1~6这6个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于6,有多少种不同的取法?
根据题意,有下列取法:1+6,2+5,2+6,3+4,3+5,3+6,4+3,4+5,4+6,5+2,5+3,5+4,5+6,6+1,6+2,6+3,6+4,6+5,而1+6与6+1,2+5与5+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有
1+2+3+3+4+5
2
=9=
62
4
种不同的取法.
(4)在1~7这7个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于7,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+7,2+6,2+7,3+5,3+6,3+7,4+5,4+6,4+7,5+3,5+4,5+6,5+7,6+2,6+3,6+4,6+5,6+7,7+1,7+2,7+3,7+4,7+5,7+6,而1+7与7+1,2+6与6+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有
1+2+3+3+4+5+6
2
=12=
72-1
4
种不同的取法…
问题解决
仿照上述研究问题的方法,解决上述数学模型和提出的问题
(1)在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,共有
 
种不同取法;(只填结果)
(2)在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数字之和大于n,共有
 
种不同取法;(只填最简算式)
(3)在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数之和大于n,共有
 
种不同取法;(只填最简算式)
(4)各边长都是整数且不相等,最大边长为21的三角形有多少个?(写出最简算式和结果,不写分析过程)

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科目:初中数学 来源:2012年江西省中等学校招生统一考试数学卷(一) 题型:解答题

某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.
活动情境:
如图2,将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G),使点B落在AD边上的点 F处,FN与DC交于点M处,连接BF与EG交于点P.
所得结论:
当点F与AD的中点重合时:(如图1)甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论(或结果):
甲:△AEF的边AE=     cm,EF=    cm;
乙:△FDM的周长为16 cm;
丙:EG=BF.
你的任务:
【小题1】填充甲同学所得结果中的数据;
【小题2】 写出在乙同学所得结果的求解过程;
【小题3】当点F在AD边上除点A、D外的任何一处(如图2)时:
① 试问乙同学的结果是否发生变化?请证明你的结论;
② 丙同学的结论还成立吗?若不成立,请说明理由,若你认为成立,先证明EG=BF,再求出S(S为四边形AEGD的面积)与x(AF=x)的函数关系式,并问当x为何值时,S最大?最大值是多少?

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科目:初中数学 来源:2012届江苏省无锡市九年级期末测试数学试卷 题型:解答题

探究题:先观察下列等式,再回答问题

;          ②

;       ④

1.你判断完以上各题之后,发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来,并注明n的取值范围

2.请用数学知识说明你所写式子的正确性.

 

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科目:初中数学 来源:2008-2009学年山东省青岛市市南区九年级(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

探究题:
数学问题:各边长都是整数,最大边长为21的三角形有多少个?
为解决上面的数学问题,我们先研究下面的数学模型:
数学模型:在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,有多少种不同取法?
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根据题意,有下列取法:1+4,2+3,2+4,3+2,3+4,4+1,4+2,4+3,而1+4与4+1,2+3与3+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有种不同的取法.
(2)在1~5这5个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于5,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+5,2+4,2+5,3+4,3+5,4+2,4+3,4+5,5+1,5+2,5+3,5+4,而1+5与5+1,2+4与4+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有种不同的取法.
(3)在1~6这6个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于6,有多少种不同的取法?
根据题意,有下列取法:1+6,2+5,2+6,3+4,3+5,3+6,4+3,4+5,4+6,5+2,5+3,5+4,5+6,6+1,6+2,6+3,6+4,6+5,而1+6与6+1,2+5与5+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有种不同的取法.
(4)在1~7这7个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于7,有多少种取法?
根据题意,有下列取法:1+7,2+6,2+7,3+5,3+6,3+7,4+5,4+6,4+7,5+3,5+4,5+6,5+7,6+2,6+3,6+4,6+5,6+7,7+1,7+2,7+3,7+4,7+5,7+6,而1+7与7+1,2+6与6+2,…是同一种取法,所以上述每一种取法都重复过一次,因此共有种不同的取法…
问题解决
仿照上述研究问题的方法,解决上述数学模型和提出的问题
(1)在1~21这21个自然数中,每次取两个不同的数,使得所取的两个数之和大于21,共有______种不同取法;(只填结果)
(2)在1~n(n为偶数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数字之和大于n,共有______种不同取法;(只填最简算式)
(3)在1~n(n为奇数)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取的两个数之和大于n,共有______种不同取法;(只填最简算式)
(4)各边长都是整数且不相等,最大边长为21的三角形有多少个?(写出最简算式和结果,不写分析过程)

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