Question

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线交于点E，点F在BD的延长线上，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB=AC；
（2）找出图中的相似三角形；
（3）若AC=3，AD=2，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC=∠2；由于∠1=∠2=∠3=∠4，故∠ABC=∠4，由此得证；
（2）根据圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得到结论；
（3）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3，
∴∠ABC=∠4，
∴AB=AC；

（2）解：∵∠DAC=∠DBC，∠3=∠4，
∴△AOD∽△BOC，
∵∠BAC=∠BDC，∠ABD=∠ACD，
∴△AOB∽△BOC，
∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△BDE，
∵∠2=∠ABE，
∴△CDE∽△ABE，△ABD∽△AEB，△ABD∽△CDE，△ADC∽△BDF，△ADC∽△ACE；

（3）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∵AB=AC=3，AD=2，
∴AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}$=$\frac{9}{2}$，
∴DE=$\frac{9}{2}$-2=$\frac{5}{2}$（cm）．

点评 本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．