Question

如图，平面直角坐标系中的方格阵表示一个纵横交错的街道模型的一部分，以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，x轴，y轴的正方向分别表示正东、正北方向，出租车只能沿街道（网格线）行驶，且从一个路口（格点）到另一个路口，必须选择最短路线，称最短路线的长度为两个街区之间的“出租车距离”．设图中每个小正方形方格的边长为1个单位．可以发现：
从原点O到（2，-1）的“出租车距离”为3，最短路线有3条；
从原点O到（2，2）的“出租车距离”为4，最短路线有6条．
（1）①从原点O到（6，1）的“出租车距离”为

7

．最短路线有

7

条；
②与原点O的“出租车距离”等于30的路口共有

120

个．
（2）①解释应用：从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的路口A，有多少条最短路线？（请给出适当的说理或过程）
②解决问题：
从坐标为（1，-2）的路口到坐标为（3，36）的路口，最短路线有

780

条．

Answer 1

分析：（1）①根据题目信息，“出租车距离”等于点的横坐标与纵坐标绝对值的和，进行计算即可求解；
②平面被坐标系分4个区域，在每一个区域内与原点0的“出租车距离”等于30的街区（m，n）满足 m，n都是正整数，|m|+|n|=30，对于m的任意取值，n都有唯一的正整数和它对应，所以m可取30个值，n有30个值和它对应，然后即可求解；
（2）①出租车从原点O到坐标（n，2）（n为大于2的整数）的街区，需走（n+2）路程，不论横坐标与纵坐标，没确定一个单位的走法，则还剩下（n+2-1）种走法，依此类推，进行计算即可；
②把原点坐标平移到（1，-2），则点（3，36）的坐标变为（2，38），然后根据①中的结论进行计算即可．

解答：解：（1）①6+1=7，7；
②与原点0的“出租车距离”等于30的街区（m，n）满足m，n都是正整数，|m|+|n|=30，
由对称性，考虑m＞0，n＞，
m依次取1，2，…30，对应的n为29，28，…，0，共30个，
∴与原点0的“出租车距离”等于30的街区共30×4=120个；

（2）①从原点O到坐标（n，2）的“出租车距离”为n+2，
则最短路线的条数是（n+2-1）+（n+2-2）+（n+2-3）+…+1，
=

(n+1)(n+2)

2

；
②把原点坐标平移到（1，-2），则点（3，36）的坐标变为（2，38），
∴“出租车距离”为2+38=40，
∴

40×39

2

=780．
故答案为：（1）①7，7；②120；（2）①

(n+1)(n+2)

2

；②780．

点评：本题考查理解题意能力以及看图能力，关键是明白怎样是“出租车距离”和路线的走法．