Question

4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$．
（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△ABE≌△DCE；
（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，则弦相等；
（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；
（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．

解答 （1）解：BE=CE，
理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，
∴∠BCE=∠EAC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴BE=CE；

（2）证明：∵$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{AE}=\widehat{ED}$，
∴AE=ED，
由（1）得：BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=CD}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SSS）；

（3）解：如图，∵过O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
BG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BE=BC，
∴BH=BG，
∵OB=OB，
∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），
∴∠OBH=∠GBO=$\frac{1}{2}$∠EBC=30°，
设OH=x，则OB=2x，
由勾股定理得：（2x）²=x²+4²，
x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OB=2x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的半径为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等得结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键．