Question

12．在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′
（1）如图①，当线段MA绕点M逆时针旋转60°时，线段AA′的长=1；
（2）如图②，连接A′C，则A′C长度的最小值是$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可得MA=MA'，然后证明△AMA'是等边三角形即可求解；
（2）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．

解答 解：（1）∵MA=MA'，∠AMA'=60°，
∴△AMA'是等边三角形，
∴AA'=AM=$\frac{1}{2}$AD=1，
故答案是1；
（2）作ME⊥CD于点E．
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠EDM=60°，
在直角△MDE中，DE=MD•cos∠EDM=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，ME=MD•sin∠EDM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则EC=CD+ED=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
在直角△CEM中，MC=$\sqrt{C{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{（2+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：$\sqrt{7}$-1．
故答案是：$\sqrt{7}$-1．

点评 本题考查了旋转的性质，以及三角函数和勾股定理，正确理解等边三角形判定定理，理解A'C最短的条件是关键．