Question

17．二次函数y=$\frac{1}{2}$（x-5）（x+m）（m是常数，m＞0）的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，连接AC．
（1）用含m的代数式表示点B和点C的坐标；
（2）垂直于x轴的直线l在点A与点B之间平行移动，且与抛物线和直线AC分别交于点M、N，设点M的横坐标为t，线段MN的长为p．
①当t=2时，求p的值；
②若m≤1，则当t为何值时，p取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）纵坐标为0，横坐标为0，将其直接代入二次函数y=$\frac{1}{2}$（x-5）（x+m）即可求得坐标．
（2）①求p的值，通常利用表达式表示p，此时p恰为不含字母的式子．因为t=2，此时p=y_N-y_M，这里y_M为点M的纵坐标，y_N为点N的纵坐标；
②求最值也要首先表示p，不过发现因为C为抛物线与直线的交点，在-m≤t≤0，p=y_M-y_N，当0≤t≤5时，p=y_N-y_M．如此要分开讨论最值，然后再综合在一起，讨论时不要遗漏题目中关于m的限制：0＜m≤1．

解答 解：（1）令y=0，得$\frac{1}{2}$（x-5）（x+m）=0，
解得x₁=5，x₂=-m，
∵m＞0，
∴-m＜0，
∵点A在点B的右侧，
∴A（5，0），B（-m，0），
令x=0，得y=-$\frac{5}{2}$m，
∴C（0，-$\frac{5}{2}$m）；

（2）①设AC的函数关系式为y=kx-$\frac{5}{2}$m，
把A（5，0）代入y=kx-$\frac{5}{2}$m，解得k=$\frac{1}{2}$m，
∴y=$\frac{1}{2}$mx-$\frac{5}{2}$m，
∵t=2，
∴点M的纵坐标为y_M=$\frac{1}{2}$（2-5）（2+m）=-$\frac{3}{2}$（2+m），
点N的纵坐标为y_N=$\frac{1}{2}$m×2-$\frac{5}{2}$m=-$\frac{3}{2}$m，
∴p=y_N-y_M=-$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$（2+m）=3；
②∵点M的横坐标为t，
∴点M的纵坐标为y_M=$\frac{1}{2}$（t-5）（t+m）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$（m-5）t-$\frac{5}{2}$m，
点N的纵坐标为y_N=$\frac{1}{2}$mt-$\frac{5}{2}$m，
当0≤t≤5时，p=y_N-y_M=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$^_）2+$\frac{25}{8}$，
当t=$\frac{5}{2}$时，p取得最大值$\frac{25}{8}$，
当-m≤t＜0时，p=y_M-y_N=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$^_）2-$\frac{25}{8}$，
此二次函数图象开口向上，对称轴为直线t=$\frac{5}{2}$，
∴在-m≤t＜0时，p随t的增大而减少，
∴当t=-m时，p取得最大值为$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m，
设w=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m，
m=-$\frac{5}{2}$m为对称轴，
∴0＜m≤1时，w的值随m的增大而增大，
∴m=1时，w最大值为3，
∵3＜$\frac{25}{8}$m，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，p取得最大值为$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，并且设置了多次最值问题的讨论，是一道很需要基本功的题目．但是本题思路及方法都属于常规套路，综上是一道质量很高的题目．