Question

如图，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，点D在边AB上，过点D作DG∥AC交BC于点G，分别过点D，G作DE∥BC，FG∥AB，DE与FG交于点O．当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与△ABC的面积之比为________．

Answer 1

分析：设△ODG的面积为S，作FH⊥AD于H，连结GE，易得四边形ADGF为平行四边形，可判断Rt△DOG≌Rt△FHA，所以S_△AHF=S，由于阴影面积等于梯形ADOF的面积得到矩形HDOF的面积=△OFE的面积，于是有OF•OD=OF•OE，即OE=2OD，然后利用Rt△OEF∽Rt△ODG得到S_△OEF=4S，且S_△OGE=2S，接着判断四边形DGCE为平行四边形，则S_△GEC=S_△GED=3S，所以S_△ABC=S_{四边形ADOF}+S_阴影部分+S_△BDG+S_△OGCE=16S，最后计算阴影面积与△ABC的面积之比．
解答：设△ODG的面积为S，
作FH⊥AD于H，连结GE，如图，
∵DG∥AC，FG∥AB，
∴四边形ADGF为平行四边形，
∴HF=OD，DG=AF，
∴Rt△DOG≌Rt△FHA，
∴S_△AHF=S，
∵阴影面积等于梯形ADOF的面积，
∴矩形HDOF的面积=△OFE的面积，
∴OF•OD=OF•OE，
∴OE=2OD，
∵Rt△OEF∽Rt△ODG，
∴=（）²=4，
∴S_△OEF=4S，
∵OE=OD，
∴S_△OGE=2S_△ODG=2S，
∵DE∥GC，
∴四边形DGCE为平行四边形，
∴S_△GEC=S_△GED=2S+S=3S，
而S_△BDG=S_△ODG=S，
∴S_△ABC=S_{四边形ADOF}+S_阴影部分+S_△BDG+S_△OGCE
=5S+5S+S+5S=16S，
∴阴影面积与△ABC的面积之比==．
故答案为．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了平行四边形的性质、三角形面积公式．