Question

（1）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；那么∠MON=______；
（2）如果（1）中的∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角），其它条件不变，那么∠MON=______；
（4）从上述求解中，你能得出什么结论？

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COM=∠AOC=×120°=60°，
∠CON=∠BOC=×30°=15°．
∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°．

（2）∵∠AOB=α，∠BOC=30°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+30°．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COM=∠AOC=（α+30°），
∠CON=∠BOC=15°．
∴∠MON=∠COM-∠CON=（α+30°）-15°
=α+15°-15°
=α．

（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β．
又∵OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COM=∠AOC=（α+β），
∠CON=∠BOC=β．
∴∠MON=∠COM-∠CON=（α+β）-β
=α+β-β
=α．

（4）无论∠BOC（锐角）如何变化，∠MON恒为∠AOB的一半．
分析：（1）根据角平分线的定义，求得∠COM和∠CON的度数，结合图形，知∠MON=∠COM-∠CON；
（2）和（1）的计算方法一样；
（3）和（1）的计算方法一样；
（4）综合上述结论，发现规律：∠MON=∠AOB．
点评：此题主要是考查了角平分线的定义和角的和、差计算方法．