Question

如图．已知△ABC的垂心为H．外接圆⊙O，M为AB的中点．连接MH并延长交⊙O于D．求证：HD⊥CD．

Answer 1

证明：如图．作⊙O直径CE．连接AE、BE、AH、BH．
∵BE⊥BC（直径所对的圆周角是90°），AH⊥BC（H是△ABC的垂心），
∴BE∥AH（垂直于同一条直线的两条直线平行），
同理，EA∥BH，
∴四边形AHBE是平行四边形，
∴EH与AB交点和M重合，
∴E、M、H、D四点共线，
∴∠D等于90°（直径所对角是90°），
即HD⊥CD．
分析：作辅助线“作⊙O直径CE．连接AE、BE、AH、BH”构造平行四边形AHBE，所以EH是平行四边形AHBE的对角线，即E、M、H、D四点共线，∴∠D是直径EC所对的圆周角，然后根据圆周角定理求证HD⊥CD．
点评：本题综合考查了圆周角定理、三角形的高（垂心）、平行四边形的判定与性质．本题通过作辅助线“作⊙O直径CE．连接AE、BE、AH、BH”，将隐含在题目中的“E、M、H、D四点共线”挖掘出来，从而“∠D是直径EC所对的圆周角”显现出来了．