Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F． 请解答下列问题：
（1）连结BD，试说明∠BDE=∠CDF；
（2）求证：BE=FC；
（2）若AE=4，FC=3，求EF长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）因为DE⊥DF，所以∠EDF=∠BDC=90°，所以∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠CDF，即∠BDE=∠CDF；
（2）由等腰三角形“三线合一”得∠EBD=∠DBC=

1

2

∠ABC=45°=∠C，再通过证明△DEB≌△DFC，即可得到BE=FC；
（3）在Rt△EBF中，利用勾股定理即可求出EF的长．

解答：解：（1）∵等腰三角形ABC中，∠ABC=90°
∴AB=BC，∠A=∠C=45°，
∵D是AC边上中点，
∴BD⊥AC，
又∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠CDF，
即∠BDE=∠CDF；

（2）由等腰三角形“三线合一”得∠EBD=∠DBC=

1

2

∠ABC=45°=∠C，
∴DB=DC，
在△DEB和△DFC中，

∠BDE=∠CDF DB=DC ∠EBD=∠C

，
∴△DEB≌△DFC（ASA），
∴EB=FC；

（3）EB=FC=3，AB=BC=7，BF=BC-FC=4，
在Rt△EBF中，∠B=90°，EF=

EB2+BF2

=

32+42

=5．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握和勾股定理的运用，稍微有点难度，属于中档题