Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．

（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；

（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；

（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2＋3x＋4，y=-x＋4；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）运用待定系数法，利用A，B两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B，C两点的坐标确定直线BC的表达式；

（2）先求得DE的长，根据平行四边形的性质得到PF=DE，点P与点F的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE长构建一元二次方程求解；

（3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCF∽△CDE一种情况．△CDE的三边均可求，（2）中已表示PF的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P是否存在，以及求解点P的值．

（1）由题意，将A(-1．0)，B(4．0)代入，得

，解得，

∴二次函数的表达式为，

当时，y=4，

∴点C的坐标为(0，4)，又点B的坐标为(4，0)，

设线段BC所在直线的表达式为，

∴，解得，

∴BC所在直线的表达式为；

（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，

∴DE∥PF，

只要DE=PF，此时四边形DEFP即为平行四边形．

由二次函数y=-+3+4=(-) 2+，得D的坐标为(，)，

将代入，即y=-+4=，得点E的坐标为(，)，

∴DE=-=，

设点P的横坐标为t，则P(t，-t2+3t+4)，F(t，-t+4)，

PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t，

由DE=PF，得-t2+4t=，

解之，得t1= (不合题意，舍去)，t2=，

当t=时，-t2+3t+4=-()2+3×+4=，

∴P的坐标为(，)；

（3）由（2）知，PF∥DE，

∴∠CED=∠CFP，

又∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，

∴∠PCF≠∠DCE，

∴只有当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，

由D (，)，C(0，4)，E(，)，利用勾股定理，可得

CE=，DE=，

由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)，

CF=，

∵△PCF∽△CDE，

∴，即，

∵t≠0，

∴()=3，

∴t=，

当t=时，-t2+3t+4=-()2+3×+4=．

∴点P的坐标是(，)．