Question

提出问题

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN. 求证：∠ABC=∠ACN.

类比探究 

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由.

拓展延伸

（3）如图3，在等腰△ABC中， BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN =∠ABC. 连结CN. 试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.

Answer 1

（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°

∴∠BAM=∠CAN                   …………………………1分

∴△BAM≌△CAN（SAS）           …………………………2分

∴∠ABC=∠ACN                   …………………………3分

（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立   . ………………………4分

理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN  

∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°

∴∠BAM=∠CAN    ∴△BAM≌△CAN   ………………………5分

∴∠ABC=∠ACN                       ………………………6分

（3）解：∠ABC=∠ACN                  ………………………7分

理由如下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ABC =∠AMN

∴底角∠BAC=∠MAN       ∴△ABC∽△AMN，     …………………8分

∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC

 ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN           ……………9分                                 

∴∠ABC=∠ACN                              ………………………10分