Question

2．在平行四边形ABCD中，设∠ABC=α（60°≤α＜90°），作CE⊥AB于点E，
（1）当α=60°，AB=5，BC=12时，求平行四边形ABCD的面积；
（2）取AD的中点F，当60＜α＜90°时，连接CF，AB：BC=1：2，当CE²-CF²取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer 1

分析 （1）利用60°角的正弦值列式计算即可得CE的长，利用平四边形的面积公式得结果；
（2）连接CF并延长交BA的延长线于点G，设BE=x，AB=a，BC=2a，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE²，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG²，从而得到CF²，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答 解：（1）∵α=60°，BC=12，sinα=$\frac{CE}{BC}$，
∴CE=BC•sin60°，
∴CE=6$\sqrt{3}$，
S?ABCD=AB•CE=5×6$\sqrt{3}$=30$\sqrt{3}$；

（2）连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DCF}\\{∠AFG=∠DFC}\\{AF=FD}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
设AB=a，BC=2a，BE=x，
∵AG=CD=AB=a，
∴EG=AE+AG=a-x+a=2a-x，
在Rt△BCE中，CE²=BC²-BE²=4a²-x²，
在Rt△CEG中，CG²=EG²+CE²=（2a-x）²+4a²-x²=8a²-4ax，
∵CF=GF，
∴CF²=（$\frac{1}{2}$CG）²=$\frac{1}{4}$CG²=$\frac{1}{4}$（8a²-4ax）=2a²-ax，
∴CE²-CF²=4a²-x²-2a²+ax=-x²+ax+2a²=-（x-$\frac{a}{2}$）²+2a²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴当x=$\frac{a}{2}$，即点E是AB的中点时，CE²-CF²取最大值，
此时，EG=2a-x=2a-$\frac{a}{2}$=$\frac{3a}{2}$，CE=$\sqrt{4{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{a\sqrt{15}}{2}$，
所以，tan∠DCF=tan∠G=$\frac{CE}{EG}$=$\frac{\frac{a\sqrt{15}}{2}}{\frac{3a}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，巧设参数，利用二次函数最值是解答此题的关键．