Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明．
（2）求证：AE=BF．

Answer 1

（1）猜想：OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD．
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（3分）

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA）
∴AE=BF．（12分）
分析：（1）连接OC、OD．利用等腰三角形的“三线合一”的性质来判定OG⊥CD；
（2）根据圆周角定理推知：∠ACB=90°、∠CAE=∠CBF；然后通过全等三角形的判定定理ASA来证明Rt△ACE≌Rt△BCF，由全等三角形的对应边相等知AE=BF．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质．在圆中，常见的辅助线之一：构造直径所对的圆周角．