Question

【题目】已知直线y=﹣ x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣ x+3中x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣ x+3中y=0，则﹣ x+3=0，
解得：x= ，
∴点B的坐标为（ ，0）．
∴AB=2 ．
∵抛物线的对称轴为x= ，
∴点C的坐标为（2 ，3），
∴AC=2 =AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y=﹣ （x﹣ ）2+4中y=0，则﹣ （x﹣ ）2+4=0，
解得：x=﹣ ，或x=3 ．
∴点E的坐标为（﹣ ，0），点F的坐标为（3 ，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故选A．
以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣ x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．