Question

如图，抛物线y= y=x² + bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

 

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x² + bx-2上，

∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =         _{………..1分}

∴抛物线的解析式为y=x²-x-2.                      ……….2分

∴y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,

∴顶点D的坐标为 (, -).                        ……….3分

（2）当x = 0时y = -2,       ∴C（0，-2），OC = 2。

当y = 0时，  x²-x-2 = 0，     

∴x₁ = -1, x₂ = 4,     ∴B (4,0)

∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².               

∴△ABC是直角三角形 .                              ........5分

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

设直线C′D的解析式为y = kx + n ,

则，解得n = 2,  .

∴ .                           ………………6分

∴当y = 0时， ，

 .     ∴.                      ………….7分