【题目】如图,直线l1:y=kx+b与x轴、y轴分别交于A,B两点,其中点B的坐标为(0,6),∠BAO=30°将直线l1沿着y轴正方向平移一段距离得到直线l2交y轴于点M,且l1与l2之间的距离为3,点C(x,y)是直线11上的一个动点,过点C作AB的垂线CD交y轴于点D.
(1)求点M的坐标和直线l1的解析式;
(2)当C运动到什么位置时,△AOD的面积为21,求出此时点C的坐标;
(3)连接AM,将△ABM绕着点M旋转得到△A'B'M,在平面内是否存在一点N.使四边形AMA'N为矩形?若存在,求出点N的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)M(0,6+2),直线l1的解析式为:y=x+6;(2)点C的坐标为:(-,)或(,);(3)点N的坐标为:(-6-8,6)或(6-4,-6).
【解析】
(1)过点B作BH⊥l1于点H,由l1∥l2,得∠BMH=∠OBA=60°,进而得BM=2,即可得到M的坐标,由题意得A(-6,0),根据待定系数法,即可得到答案;
(2)连接AD,设点D(0,m),结合,△AOD的面积为21,求得m的值为±7,分两种情况:①当D(0,-7)时,②当D(0,7)时,分别求出点C的坐标即可;
(3)由四边形AMA'N为矩形,且MA = MA',得四边形AMA'N为正方形,分两种情况:①当点N在x轴上方时,②当点N在x轴下方时,分别求出点N的坐标即可.
(1)∵点B的坐标为(0,6),∠BAO=30°,∠AOB=90°,
∴BO=6,AO=6,
∴A(-6,0),
把(0,6),(-6,0),代入y=kx+b,得,解得:,
∴直线l1的解析式为:y=x+6,
过点B作BH⊥l1于点H,如图1,
∵l1∥l2,
∴∠BMH=∠OBA=90°-30°=60°,
∴∠MBH=30°,
∵BH=3,
∴BM=3÷×2=2,
∴M(0,6+2);
(2)连接AD,设点D(0,m),
由题意得:OAOD=21,
∴×6× =21,解得:m=±7,
①当D(0,-7)时,过点C作CN⊥y轴于点N,如图2,
∵CD⊥l2,
∴∠CDB=90°-∠ABO=90°-60°=30°,
∵BD=OB+OD=6+7=13,
∴CD=13÷2×=,CN=CD=,DN=CN=,
∴ON=-7=,
∴C(-,);
②当D(0,7)时,同理可得:C(,),
综上所述:点C的坐标为:(-,)或(,);
(3)存在,理由如下:
∵四边形AMA'N为矩形,且MA = MA',
∴四边形AMA'N为正方形,
∴AN=AM,
①当点N在x轴上方时,过点N作NH⊥x轴于点N,如图3,
∵∠AHN=∠MAN=∠AOM=90°,
∴∠HAN+∠OAM=∠OAM+∠AMO=90°,
∴∠HAN=∠AMO,
∴AHNMOA(AAS),
∴NH=OA=6,AH=OM=6+2,
∴OH=AH+OA=6+8,
∴N(-6-8,6),
②当点N在x轴下方时,过点N作NH⊥x轴于点N,如图4,
同理可得:AHNMOA(AAS),
∴NH=OA=6,AH=OM=6+2,
∴OH=AH-OA=6-4,
∴N(6-4,-6),
综上所述:点N的坐标为:(-6-8,6)或(6-4,-6).
图1 图2
图3 图4
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC交⊙O于点F.
(1)AB与AC的大小有什么关系?请说明理由;
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求:图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作圆,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分∠ABC,AD=2,则线段CD的长是( )
A. 2 B. C. D.
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【题目】如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为( )
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
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【题目】在矩形ABCD中,AB=2cm,BC=3cm,点P沿B→A→D运动,运动到点D时停止运动,点P运动的同时,另一点Q从B→C运动,速度是点P的一半,当点P停止运动时,点Q也停止运动.设点P运动的路程为xcm,其中设,可可根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是可可的探究过程,请补充完整.
(1)如图是画出的函数与x的函数图象,观察图象.当x=1时,=_____;并写出函数的一条性质:________________________________________.
(2)请帮助可可写出与x的函数关系式(不用写出取值范围)__________________.
(3)请按照列表、描点、连线的步骤在同一直角坐标系中,画出函数的图象.
(4)结合画出函数图象,解决问题:当时,点P运动的路程x=_______.
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【题目】如图,一块形如四边形ABCD的草地中,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且∠ABC=90°,要以AC、CD、DA为边制作围栏,问围栏长多少米,草地面积多大?
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【题目】一架外国侦察机沿方向侵入我国领空进行非法侦察,我空军的战斗机沿方向与外国侦察机平行飞行,进行跟踪监视,我机在处与外国侦察机处的距离为米,为,这时外国侦察机突然转向,以偏左的方向飞行,我机继续沿方向以米/秒的速度飞行,外国侦察机在点故意撞击我战斗机,使我战斗机受损.问外国侦察机由到的速度是多少?(结果保留整数,参考数据,)
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【题目】(2017浙江省湖州市,第23题,10分)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).
(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值;
(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:m与t的函数关系为;y与t的函数关系如图所示.
①分别求出当0≤t≤50和50<t≤100时,y与t的函数关系式;
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大?并求出最大值.(利润=销售总额﹣总成本)
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