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【题目】如图,直线l1ykx+bx轴、y轴分别交于AB两点,其中点B的坐标为(06),∠BAO=30°将直线l1沿着y轴正方向平移一段距离得到直线l2y轴于点M,且l1l2之间的距离为3,点Cxy)是直线11上的一个动点,过点CAB的垂线CDy轴于点D

1)求点M的坐标和直线l1的解析式;

2)当C运动到什么位置时,△AOD的面积为21,求出此时点C的坐标;

3)连接AM,将△ABM绕着点M旋转得到△A'B'M,在平面内是否存在一点N.使四边形AMA'N为矩形?若存在,求出点N的坐标:若不存在,请说明理由.

【答案】1M(06+2),直线l1的解析式为:yx+6;(2)点C的坐标为:(-)或();(3)点N的坐标为:(-6-86)(6-4-6)

【解析】

1)过点BBHl1于点H,由l1l2得∠BMH=OBA=60°,进而得BM=2,即可得到M的坐标,由题意得A(-60),根据待定系数法,即可得到答案;

2)连接AD,设点D(0m),结合,△AOD的面积为21,求得m的值为±7,分两种情况:①当D(0,-7)时,②当D(0,7)时,分别求出点C的坐标即可;

3)由四边形AMA'N为矩形,且MA = MA',得四边形AMA'N为正方形,分两种情况:①当点Nx轴上方时,②当点Nx轴下方时,分别求出点N的坐标即可.

1)∵点B的坐标为(06),∠BAO=30°,∠AOB=90°,

BO=6AO=6

A(-60)

把(06)(-60),代入ykx+b,,解得:

∴直线l1的解析式为:yx+6

过点BBHl1于点H,如图1

l1l2

∴∠BMH=OBA=90°-30°=60°,

∴∠MBH=30°,

BH=3

BM=3÷×2=2

M(06+2)

2)连接AD,设点D(0m)

由题意得:OAOD=21

×6× =21,解得:m=±7

①当D(0,-7)时,过点CCNy轴于点N,如图2

CDl2

∴∠CDB=90°-ABO=90°-60°=30°,

BD=OB+OD=6+7=13

CD=13÷2×=CN=CD=DN=CN=

ON=-7=

C(-)

②当D(0,7)时,同理可得:C(),

综上所述:点C的坐标为:(-)或();

3)存在,理由如下:

∵四边形AMA'N为矩形,且MA = MA'

∴四边形AMA'N为正方形,

AN=AM,

①当点Nx轴上方时,过点NNHx轴于点N,如图3,

∵∠AHN=∠MAN=∠AOM=90°,

∠HAN+∠OAM=∠OAM+∠AMO=90°,

∠HAN=∠AMO,

AHNMOA(AAS),

NH=OA=6AH=OM=6+2

OH=AH+OA=6+8

N(-6-86)

②当点Nx轴下方时,过点NNHx轴于点N,如图4,

同理可得:AHNMOA(AAS),

NH=OA=6AH=OM=6+2

OH=AH-OA=6-4

N(6-4-6)

综上所述:点N的坐标为:(-6-86)(6-4-6)

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