Question

【题目】如图，直线l1：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中点B的坐标为（0，6），∠BAO=30°将直线l1沿着y轴正方向平移一段距离得到直线l2交y轴于点M，且l1与l2之间的距离为3，点C（x，y）是直线11上的一个动点，过点C作AB的垂线CD交y轴于点D．

（1）求点M的坐标和直线l1的解析式；

（2）当C运动到什么位置时，△AOD的面积为21，求出此时点C的坐标；

（3）连接AM，将△ABM绕着点M旋转得到△A'B'M，在平面内是否存在一点N．使四边形AMA'N为矩形？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）M(0，6+2)，直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）点C的坐标为：(-，)或(，)；（3）点N的坐标为：(-6-8，6)或(6-4，-6)．

【解析】

（1）过点B作BH⊥l1于点H，由l1∥l2，得∠BMH=∠OBA=60°，进而得BM=2，即可得到M的坐标，由题意得A(-6，0)，根据待定系数法，即可得到答案；

（2）连接AD，设点D(0，m)，结合，△AOD的面积为21，求得m的值为±7，分两种情况：①当D(0，-7)时，②当D(0，7)时，分别求出点C的坐标即可；

（3）由四边形AMA'N为矩形，且MA = MA'，得四边形AMA'N为正方形，分两种情况：①当点N在x轴上方时，②当点N在x轴下方时，分别求出点N的坐标即可．

（1）∵点B的坐标为(0，6)，∠BAO=30°，∠AOB=90°，

∴BO=6，AO=6，

∴A(-6，0)，

把(0，6)，(-6，0)，代入y＝kx+b，得，解得：，

∴直线l1的解析式为：y＝x+6，

过点B作BH⊥l1于点H，如图1，

∵l1∥l2，

∴∠BMH=∠OBA=90°-30°=60°，

∴∠MBH=30°，

∵BH=3，

∴BM=3÷×2=2，

∴M(0，6+2)；

（2）连接AD，设点D(0，m)，

由题意得：OAOD=21，

∴×6× =21，解得：m=±7，

①当D(0，-7)时，过点C作CN⊥y轴于点N，如图2，

∵CD⊥l2，

∴∠CDB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，

∵BD=OB+OD=6+7=13，

∴CD=13÷2×=，CN=CD=，DN=CN=，

∴ON=-7=，

∴C(-，)；

②当D(0，7)时，同理可得：C(，)，

综上所述：点C的坐标为：(-，)或(，)；

（3）存在，理由如下：

∵四边形AMA'N为矩形，且MA = MA'，

∴四边形AMA'N为正方形，

∴AN=AM，

①当点N在x轴上方时，过点N作NH⊥x轴于点N，如图3，

∵∠AHN=∠MAN=∠AOM=90°，

∴∠HAN+∠OAM=∠OAM+∠AMO=90°，

∴∠HAN=∠AMO，

∴AHNMOA（AAS），

∴NH=OA=6，AH=OM=6+2，

∴OH=AH+OA=6+8，

∴N(-6-8，6)，

②当点N在x轴下方时，过点N作NH⊥x轴于点N，如图4，

同理可得：AHNMOA（AAS），

∴NH=OA=6，AH=OM=6+2，

∴OH=AH-OA=6-4，

∴N(6-4，-6)，

综上所述：点N的坐标为：(-6-8，6)或(6-4，-6)．

图1 图2

图3 图4