Question

【题目】如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕交BC、AD分别于点E、F．

（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由折叠的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，

∴AF=CF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AF=CF，

∴四边形AECF是菱形

（2）

解：设CE=x，则AE=x，be=8﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴BE2+AB2=AE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，即EC=5，

∴S菱形AECF=ECAB=5×4=20

【解析】（1）由折叠的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，即可证得AF=CF，又由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，可得OE=OF，继而可证得四边形AECF是菱形；（2）首先设CE=x，则AE=x，be=8﹣x，然后由勾股定理求得（8﹣x）2+42=x2 ， 继而求得答案．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和矩形的性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．