如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E从点B出发，以每秒k个单位长的速度，沿折线BA-AD-DC向点C运动；点F以每秒1个单位长的速度从点C向点B运动，点E、F同时出发同时停止．设运动时间为t秒时，△EBF的面积为y，已知y与t的函数关系如图2所示．
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）点E运动到A、D两点时，y的值分别是和；
（2）求BC和CD的长；
（3）求点E的运动速度k；
（4）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比是1：3．

解：（1）点E运动到A、D两点时，在图2中对应的点是M，N两点，则对应的值是：7和4；
（2）当t=2.5秒时，△EBF的面积为y= $\text{[math]}$ •（BC-CF）•CD=7，
即： $\text{[math]}$ （BC- $\text{[math]}$ ）•CD=7．
当t=4秒时，△EBF的面积为y= $\text{[math]}$ •（BC-CF）•CD=4，
即： $\text{[math]}$ （BC-4）•CD=4．
∴ $\text{[math]}$ …6分
（3）法一：
∵BC=6，点F的速度是每秒1个单位，
∴BC=6，
∴点E从D运动到C用时为6-4=2秒，
又∵CD=4，
∴点E的运动速度为每秒2个单位．…9分
法二：如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=2.5k，AD=1.5k，∴BG=6-1.5 k，
在Rt△ABG中，4²+（6-1.5k）²=（2.5k）²．
∴k₁=2，k₂=-6.5（不合题意舍去），
即点E的运动速度为每秒2个单位．
（4）∵k=2，∴AD=3，AB=5，∴S_△EBF=6，S_梯形ABCD=18．
由题意可知运动过程中有两个时刻△EBF的面积等于6．
①当E在AB上时，过点E作EH⊥BC于点H，
△EBH∽△ABG，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EH= $\text{[math]}$ t，
∴ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t×（6-t）=6，解得t= $\text{[math]}$ ，∵t≤2.5．
∴t= $\text{[math]}$
②当E在AD上时， $\text{[math]}$ ×4×（6-t）=6，解得t=3．
综上所述，当t= $\text{[math]}$ 或t=3秒时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：3．
分析：（1）根据图2可以得到OM表示E在BA段，MN表示E在AD段，NP表示E在DC段，据此即可判断；
（2）根据E在A点和D点时，△EBF的面积分别是7和4，利用面积公式即可得到关于CD和BC的方程组，即可求得BC和CD的长；
（3）根据两个点的运动时间以及（2）中求得的运动距离，即可求得运动的速度；
（4）首先求得梯形ABCD的面积，当E在AB上时，过点E作EH⊥BC于点H，△EBH∽△ABG，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到关于时间的方程，从而求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确利用题目中的图形的关系，转化成方程问题求解是关键．

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24、如图1，在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC，BD交于点P，则s_△PAB=S_△PDC，请你用梯形对角线的这一特殊性质，解决下面问题．
在图2中，点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E画一条直线，把△ABC分成面积相等的两部分，保留作图痕迹，并简要说明你的方法．

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如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4

，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．

（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S_△ABD=S_△ACD，依据是

等底等高的三角形面积相等

规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
（1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线

是

（填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
（2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线

是

（填“是”或“否”）．
（3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

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（2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=

∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=

∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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（2013•乐山）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若

，则有结论：MN=

bm+an

m+n

．
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP₁，PP₂，PP₃，交BC于点P₁，交AB于点P₂，交AC于点P₃．
（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP₁，PP₂，PP₃的数量关系，并给出证明．

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