Question

【题目】（阅读材料）

我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．

（理解应用）

（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；

（拓展应用）

（2）利用（1）中的等式计算：

①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；

②已知（2021﹣a）（a﹣2019）＝2020，求（2021﹣a）2+（a﹣2019）2的值．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；②-4036

【解析】

（1）方法一是直接求出阴影部分面积x2+y2，方法二是间接求出阴影部分面积，即用（x+y）为边的正方形的面积减去两个x为宽、y为长的矩形面积，即（x+y）2﹣2xy；

（2）①将a2+b2＝10，a+b＝6代入上题的等量关系式解答即可；

②可以将2021﹣a和a﹣2019看作一个整体，代入（1）题的等量关系式求解即可．

解：（1）由题意得：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；

（2）①由（1）题的结论得：2ab＝（a+b）2﹣(a2+b2)，

把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，2ab＝62－10＝26，所以ab=13.

答：ab的值是13．

②由题意得：（2021﹣a）2+（a﹣2019）2＝（2021﹣a+a﹣2019）2﹣2（2021﹣a）（a﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036.