Question

6．已知：如图，$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{DE}$．
（1）求证：∠B=∠ADE；
（2）当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由已知条件根据三边对应成比例两三角形相似可得；
（2）证EC⊥BC即证∠ACE+∠ACB=90°，由∠B+∠ACB=90°可知需证∠ACE=∠B，由（1）知∠DAE=∠BAC=90°即∠BAD=∠CAE且$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$可得△BAD∽△CAE，即可得证．

解答 证明：（1）∵$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{DE}$，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B=∠ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ACE=∠B，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°
∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，
∴EC⊥BC．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意判断所需三角形是否相似是解题的主线和关键．