Question

如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点．过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E．连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，

MB

MC

=

1

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由BC∥CD，AB⊥CD，可证AB⊥BE，从而可证BE为⊙O的切线；
（2）由垂径定理知：CM=

1

2

CD=3，在Rt△BCM中，根据

MB

MC

=

1

2

，可将BM的值求出，由

BC

=

BD

，可知：∠BAC=∠BCD，从而得出△ACM∽△CBM．利用相似三角形的性质可将AM的值求出，从而可得出⊙O的半径．

解答：证明：（1）∵BE∥CD，AB⊥CD，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE为⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CM=

1

2

CD=3，

BC

=

BD

，
∴∠BAC=∠BCD（等弧所对的圆周角相等），
∵

BM

CM

=

1

2

，
∴BM=

3

2

，
∵△ACM∽△CBM，
∴

AM

CM

=

CM

BM

解得：AM=6．
∴AB=AM+BM=

15

2

．则⊙O的半径=

AB

2

=

15

4

．

点评：本题主要考查学生对圆、三角函数、以及解直角三角形的运算能力，综合考察的知识点较多，解答本题的突破口是利用垂径定理求出CM的长，难度一般．