Question

7．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁FF₁，它的周长记作C₂．照此规律作下去，则C₂₀₁₅=$\frac{1}{{2}^{2013}}$．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理可求出C₁的值，进而可得出C₂的值，找出规律即可得出C₂₀₁₅的值．

解答 解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C₁=4×$\frac{1}{2}$；
同理求得：C₂=4×$\frac{1}{{2}^{2}}$；
…
C_n=4×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴C₂₀₁₅=4×$\frac{1}{{2}^{2015}}$=$\frac{1}{{2}^{2013}}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{2013}}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．